Selasa, 11 April 2017

DISTRIBUSI BINOMIAL

Distribusi Binomial
(Nisrina Sulistya Hastuti)

1. Pengertian
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalahdistribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

2. Ciri - ciri
  1. Setiap percobaan dibedakan menjadi 2 jenis kejadian yang keduanya saling lepas
  2. Hasil dari percobaan tersebut hanya 2 macam, yaitu berhasil dan gagal
  3. Peluang kejadian berhasil adalah p dan peluang kejadian gagal adalah q = 1-p
  4. Masing - masing percobaan bersifat saling bebas, artinya hasil percobaan pertama tidak memngaruhi hasil percobaan berikutnya
3. Rumus

Sebuah percobaan akan mengakibatkan sebuah kejadian berhasil atau gagal, jadi jika dalam ruang sampel S didistribusikan ke dalam kejadian A atau A' (dalam 2 kejadian) maka disebut distribusi binomial.
Jika dalam n buah percobaan, maka peluang keberhasilan A sebanyak k kali adalah
PkA=CknP(A)kP(A')n-k
Atau lebih sederhana lagi :
Jika banyak percobaan n peluang kejadian A berhasil p dan peluang kejadian A gagal q maka peluang A berhasil kali adalah

4. Soal dan Pembahasan
1) Sebuah mata uang logam dilemparkan sebanyak 8 kali. Berapa peluang muncul gambar sebanyak 5 kali?
Diketahui :
n = 8
x = 5
p = 1/2
q = 1-p = 1- 1/2 = 1/2
Ditanya : peluang muncul gambar sebanyak 5 kali
Jawab :
P(X = 5) = b(5; 8; \frac{1}{2}) 
 = _{8}C_{5} \times p^{5} \times q^{8-5}
= \frac{8!}{5! \times 3!} \times (\frac{1}{2})^{5} \times (\frac{1}{2})^{3} 
= \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{32} \times \frac{1}{8}

= 56 \times \frac{1}{32} \times \frac{1}{8} = \frac{7}{32}

Jadi, peluang muncul gambar sebanyak 5 kali adalah 7/32
2) Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 5 kali.Berapa peluang muncul mata dadu 4 sebanyak 2 kali?
Diketahui :
n = 5
x = 2
p = 1/6
q = 1-1/6 = 5/6
Ditanya : peluang muncul mata dadu 4 sebanyak 2 kali
Jawab :
P(X = 2) = b(2; 5; \frac{1}{6})
= _{5}C_{2} \times p^{2} \times q^{5-2} 
= \frac{5!}{2! \times 3!} \times (\frac{1}{6})^{2} \times (\frac{5}{6})^{3} 

= \frac{5 \times 4}{2\times 1} \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{625}{3888}
  
Jadi, peluang muncul mata dadu 4 sebanyak 2 kali adalah 625/3888





Sumber :

Jumat, 07 April 2017

POPULASI, SAMPEL, DAN TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL




A.    POPULASI
 “Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri atas: objek/subjek yang mempunyai kualitas dan karakteristik tertentu yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya”.
Satu orang pun sebenarnya dapat dijadikan sebagai populasi, karena satu orang itu mempunyai berbagai karakteristik, misalnya gaya bicaranya, kedisiplinannya, hobi, cara bergaul, kepemimpinannya, dan lain-lain.  Misalnya akan meneliti gaya kepemimpinan seorang presiden, maka kepemimpinan itu sebagai sampel dari keseluruhan karakter yang melekat pada presiden tersebut.
B.     SAMPEL
Sugiyono (2010: 118) mengatakan bahwa “Sampel adalah bagian dari jumlah dan karakteristik yang dimiliki oleh populasi”. Jika populasi yang diteliti sangat besar dan tidak mungkin semua individu/ objek pada populasi tersebut diteliti satu persatu, maka cukup diambil sampel dari populasi tersebut. Misalnya, seorang peneliti hendak meneliti tingkat kecerdasan manusia Indonesia. Dengan jumlah populasi yang mencapai lebih dari 200 juta jiwa, tentunya tidak mungkin untuk melakukan penelitian terhadap setiap individu. Sehingga peneliti cukup mengambil sampel saja.
Syarat sampel yang baik
1.      Akurasi atau ketepatan , yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan  adalah populasi.
diperoleh akan bias. Kekeliruan semacam ini bisa terjadi pada sampel yang diambil secara sistematis
2.      Presisi Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi. Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita  dengan karakteristik populasi. Contoh : Dari 300 pegawai produksi, diambil sampel 50 orang. Setelah diukur ternyata rata-rata perhari, setiap orang menghasilkan 50 potong produk “X”. Namun berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk “X” per harinya rata-rata 58 unit. Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 8 unit. Makin kecil tingkat perbedaan di antara rata-rata populasi dengan rata-rata sampel, maka makin tinggi tingkat presisi sampel tersebut.

Prosedur Pemilihan sampel
Agar diperoleh sampel yang representatif peneliti perlu menggunakan prosedur pemilihan sampel yang sistematis. Tahapannya adalah sebagai berikut :
1)      mengidentifikasi populasi target
2)      memilih kerangka pemilihan sampel
3)      menentukan metode pemilihan sampel
4)      merencanakan prosedur penentuan unit sampel
5)      menentukan ukuran sampel

C.    TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL

Teknik sampling adalah merupakan cara penentuan dan pengambilan sampel. Terdapat beberapa teknik sampling yang biasa dilakukan dalam penelitian pendidikan. Secara garis besar ada dua jenis teknik sampling, yaitu: (1) sampling probabilitas dan (2) Sampling non-probabilitas.
Sampling probabilitas diartikan sebagai sampling yang memberikan kesempatan atau peluang yang sama terhadap tiap-tiap individu pada populasi untuk terpilih menjadi sampel penelitian. Sedangkan sampling non-probabilitas memiliki pengertian yang sebaliknya. Pada sampling probabilitas, proses pemilihan sampel dicirikan dengan adanya randomisasi (pengacakan). Jika ditelaah dari pengertian di atas, maka proses random (pengacakan) memang harus ada untuk dilakukan. Jika ciri random ini dihilangkan maka, probabilitas sampling menjadi tidak sempurna.



Sampling probabilitas meliputi:

1.      Simple Random Sampling
Dikatakan simple (sederhana) karena pengambilan anggota sampel dari populasinya dilakukan secara acak tanpa memperhatika strata (tingkatan) yag ada dalam populasi tersebut. Cara ini dilakukan jika anggota populasi dianggap homogen. Mengapa harus dipersyaratkan homogen? Karena, jika tiap individu homogen (memiliki karakter yang sama / hampir sama) maka pengambilan sampel sudah bisa dikatakan representatif.

2.      Proportionate Stratified Random Sampling
Teknik ini memiliki dua kata kuncinya, yaitu proporsional dan stratified. Proporsional berarti sebanding dan stratified berarti tingkatan. Sehingga Proportionate Stratified Random Sampling dapat dijelaskan sebagai teknik yang digunakan jika populasi mempunyai anggota/ unsur yang tidak homogen dan berstrata secara proporsional

3.      Disproportionate Stratified Random Sampling
Teknik ini kebalikan dari teknik sebelumnya (Proportionate Stratified Random Sampling). Perbedaannya hanyalah pada pengambilan sampel yang tidak proporsional saja.

4.      Cluster Sampling
Teknik ini biasa juga diterjemahkan dengan cara pengambilan sampel berdasarkan gugus. Berbeda dengan teknik pengambilan sampel acak yang distratifikasikan, di mana setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen (stratum A : laki-laki semua, stratum B : perempuan semua), maka dalam sampel gugus, setiap gugus boleh mengandung unsur yang karakteristiknya berbeda-beda atau heterogen.

5.      Area sampling
Teknik cluster sampling digunakan untuk menentukan sampel bila objek yang diteliti atau sumber data sangat luas. Seperti halnya sample berstrata yang dilakukan apabila ada berbedaan strata, maka kita juga dapat memilih sample berdasarkan wilayah (area) karena adanya perbedaan karakteristik (ciri) antara wilayah satu dengan wilayah yang lain. Dengan demikian sample wilayah adalah teknik sampling yang dilakukan dengan cara mengambil wakil dari setiap wilayah yang terdapat dalam populasi.

6.      Statified Cluster Random Sampling
Stratified Cluster Random Sampling ini merupakan gabungan dari sampling stratified dan cluster. Langkah awal yang dilakukan adalah mengelompokkan populasi ke dalam strata (tingkatan) yang berbda-beda. Namun setiap objek dalam tiap stratanya harus bersifat homogen. Setelah itu dari tiap strata di ambil sampel dengan teknik cluster. (Wulan Rara Anggraini)